۱_ در دورهٔ دبستان برای نشان دادن ضرب و تقسیم عددها، از شکلی مانند نمونهٔ زیر استفاده میکردید. ضربهای زیر را ابتدا با محور نشان دهید؛ سپس تقسیمهای متناظرشان را بنویسید. بدون استفاده از محور برای هر یک از ضربهای فوق تقسیم دیگری بنویسید.
این تمرین رابطه بین ضرب و تقسیم را با استفاده از اعداد صحیح نشان میدهد. هر عبارت ضرب را میتوان به دو عبارت تقسیم متناظر تبدیل کرد.
**عبارت اول: $(+۴) \times (-۳) = -۱۲$**
- **نمایش روی محور:** این عبارت یعنی ۴ حرکت (پرش) ۳ واحدی به سمت چپ از مبدأ. پرشها روی نقاط $-۳$, $-۶$, $-۹$ و در نهایت $-۱۲$ فرود میآیند.
- **تقسیم متناظر اول:** اگر حاصلضرب ($-۱۲$) را بر یکی از عاملها ($+۴$) تقسیم کنیم، عامل دیگر ($-۳$) به دست میآید.
$$(-۱۲) \div (+۴) = -۳$$
- **تقسیم متناظر دوم:** اگر حاصلضرب ($-۱۲$) را بر عامل دیگر ($-۳$) تقسیم کنیم، عامل اول ($+۴$) به دست میآید.
$$(-۱۲) \div (-۳) = +۴$$
---
**عبارت دوم: $(+۳) \times (-۵) = -۱۵$**
- **نمایش روی محور:** این عبارت یعنی ۳ حرکت (پرش) ۵ واحدی به سمت چپ از مبدأ. پرشها روی نقاط $-۵$, $-۱۰$ و در نهایت $-۱۵$ فرود میآیند.
- **تقسیم متناظر اول:**
$$(-۱۵) \div (+۳) = -۵$$
- **تقسیم متناظر دوم:**
$$(-۱۵) \div (-۵) = +۳$$
۲_ با توجه به تقسیمهای بالا، جدول زیر را برای تقسیم دو عدد، کامل کنید و حاصل تقسیمها را به دست آورید.
قوانین تقسیم علامتها در اعداد صحیح، دقیقاً مانند قوانین ضرب است. میتوانیم این قوانین را در جدول زیر خلاصه کنیم:
**جدول تقسیم علامتها:**
| ÷ | + | – |
| :---: | :---: | :---: |
| **+** | + | – |
| **–** | – | + |
**قانون کلی:**
- تقسیم دو عدد **همعلامت**، عددی **مثبت** است.
- تقسیم دو عدد با **علامتهای مختلف**، عددی **منفی** است.
با استفاده از این قوانین، حاصل تقسیمها را محاسبه میکنیم:
- **$(+۲۱) \div (-۳)$**
(مثبت تقسیم بر منفی = منفی) $\implies - (۲۱ \div ۳) = -۷$
- **$(-۱۲) \div (+۲)$**
(منفی تقسیم بر مثبت = منفی) $\implies - (۱۲ \div ۲) = -۶$
- **$(+۲۱) \div (+۷)$**
(مثبت تقسیم بر مثبت = مثبت) $\implies + (۲۱ \div ۷) = +۳$
- **$(-۱۴) \div (-۷)$**
(منفی تقسیم بر منفی = مثبت) $\implies + (۱۴ \div ۷) = +۲$$
۱_ حاصل عبارتها را به دست آورید.
برای محاسبه این عبارتها، قوانین **ترتیب انجام عملیات** (اول پرانتز، سپس ضرب و تقسیم از چپ به راست) و **قوانین علامتها** در ضرب و تقسیم اعداد صحیح را رعایت میکنیم.
- **عبارت اول: $(-۲) \times (-۴) \div (+۸)$**
۱. ابتدا ضرب از چپ: $(-۲) \times (-۴) = +۸$
۲. سپس تقسیم: $(+۸) \div (+۸) = +۱$
**پاسخ:** $+۱$
- **عبارت دوم: $-۴ \times (+۳) \div (-۲)$**
۱. ابتدا ضرب از چپ: $-۴ \times (+۳) = -۱۲$
۲. سپس تقسیم: $(-۱۲) \div (-۲) = +۶$
**پاسخ:** $+۶$
- **عبارت سوم: $(-۱۴ \div (+۷)) \times (-۳)$**
۱. ابتدا داخل پرانتز: $(-۱۴) \div (+۷) = -۲$
۲. سپس ضرب: $(-۲) \times (-۳) = +۶$
**پاسخ:** $+۶$
- **عبارت چهارم: $(۲۸ \div (-۴)) \times (+۳)$**
۱. ابتدا داخل پرانتز: $۲۸ \div (-۴) = -۷$
۲. سپس ضرب: $(-۷) \times (+۳) = -۲۱$
**پاسخ:** $-۲۱$$
۲_ حاصل ضرب عددهای روی رأسهای مثلث، روی هر ضلع نوشته شده است. جاهای خالی را کامل کنید.
در این معما، عدد روی هر ضلع برابر با حاصلضرب دو رأس متصل به آن است. برای پیدا کردن اعداد مجهول، از عملیات تقسیم استفاده میکنیم.
۱. **یافتن رأسها:** رأس سمت چپ باید عاملی مشترک بین $-۲۴$ و $۵۴$ باشد. بیایید عدد **$۶$** را امتحان کنیم.
- اگر رأس چپ **$+۶$** باشد:
- رأس بالا: $(-۲۴) \div (+۶) = -۴$
- رأس راست: $(+۵۴) \div (+۶) = +۹$
۲. **کامل کردن ضلع خالی:**
حالا که رأس بالا ($-۴$) و رأس راست ($+۹$) را داریم، میتوانیم ضلع خالی سمت راست را محاسبه کنیم:
$$(\text{رأس بالا}) \times (\text{رأس راست}) = (-۴) \times (+۹) = -۳۶$$
**پاسخ نهایی:**
- **رأس چپ:** $+۶$
- **رأس بالا:** $-۴$
- **رأس راست:** $+۹$
- **ضلع راست:** $-۳۶$
(توجه: اگر رأس چپ را $-۶$ در نظر میگرفتیم، رأسها $۴$ و $-۹$ میشدند اما حاصلضرب ضلع سمت راست همچنان $-۳۶$ باقی میماند.)
۳_ الگوهای عددی را کامل کنید.
برای کامل کردن این الگوها، ابتدا رابطهی بین اعداد متوالی را پیدا میکنیم.
**الگوی اول: $... , ۹ , ۶ , -۳ , ...$**
به نظر میرسد در این الگو یک عدد جا افتاده یا اشتباه تایپی وجود دارد. الگوی منطقیتر، یک الگوی حسابی با قدر نسبت $-۳$ است. با فرض اینکه الگو به صورت $..., ۹, ۶, ۳, ۰, -۳, ...$ باشد:
- **رابطه:** هر عدد از کم کردن ۳ از عدد قبلی به دست میآید.
- **تکمیل الگو:**
$$..., ۱۸, ۱۵, ۱۲, ۹, ۶, ۳, ۰, -۳, -۶, ...$$
**الگوی دوم: $... , ۲۰ , ۱۵ , ۱۰ , ۵ , ...$**
- **رابطه:** این یک الگوی حسابی ساده است که در هر مرحله ۵ واحد از آن کم میشود.
- **تکمیل الGO:**
$$..., ۳۵, ۳۰, ۲۵, ۲۰, ۱۵, ۱۰, ۵, ۰, -۵, ...$$
